Chaos w Ujęciu Teorii Ergodycznej w Modelu Zaburzonej Erytropoezy

mgr inż. Paweł J. Mitkowski

Promotor: Prof. dr hab. inż. Maciej J. Ogorzałek
Dyscyplina: Biocybernetyka i Inżynieria Biomedyczna

Przedstawiona rozprawa doktorska jest związana z nową dyscyplina naukową biocybernetyką i inżynierią biomedyczną, która należy do obszaru nauk technicznych. Dyscyplina ta zawiera w sobie zagadnienia związane z medycyną, biologią, biomatematyką, czy też z cybernetyką uprawianą przez inżynierów. Ta rozprawa skupiona jest wokół problemów biomatematyki oraz numerycznego badania systemów dynamicznych, w szczególności ich chaotycznych zachowań.

Nieregularne przebiegi obserwowane w wynikach pomiarowych rzeczywistych układów biologiczno-medycznych mogą być związane nie tylko z dużą złożonością tych układów i niedoskonałościami metod pomiarowych, ale również z samą strukturą układów. Innymi słowy mówiąc rzeczywiste systemy biologiczo-medyczne mogą przy pewnych warunkach po prostu być chaotyczne, mogą ”zawierać” strukturę matematyczna generującą chaos. A. Lasota uważał, że taką matematyczną strukturą ”odpowiedzialną” za chaos w systemach biologicznych może być miara niezmiennicza o nietrywialnych własnościach ergodycznych (możemy także powiedzieć, że układ wykazuje nietrywialne własności ergodyczne). Sformalizował on takie podejście dla zaproponowanego przez siebie modelu zmian ilości krążących w krwiobiegu krwinek czerwonych (erytrocytów), stawiając hipotezę o nietrywialnych własnosciach ergodycznych tego modelu. Model ma postać równania różniczkowego z opóźnionym argumentem, w którym przy odpowiednim doborze parametrów można zadać funkcję produkcji erytrocytów w formie unimodalnej. Taki charakter zależności erytropoezy (produkcji erytrocytów) odpowiada warunkom patologicznym zaistniałym w organizmie. Ważne jest, że równania o takiej strukturze jak rozważane w rozprawie mają szerokie zastosowania w modelowaniu procesów biologicznych. Znane są dowody istnienia rozwiązań okresowych takich równań, natomiast jak do tej pory poza szczególnymi przypadkami mało można powiedzieć o istnieniu chaotycznych rozwiązań w precyzyjnie określonym sensie dla równań różniczkowych z opóźnieniem w ogóle. W rozprawie wychodząc od hipotezy A. Lasoty przeprowadzono numeryczne badanie wspomnianego modelu zaburzonej erytropoezy w celu obserwacji jego nietrywialnych (nie skupionych na punkcie) własności ergodycznych. Z punktu widzenia matematycznego uzyskane wyniki obliczeniowe sugeruja, że dla wyznaczonego zakresu parametrów istnieje atraktor o nieprostej strukturze, wspierający niezmienniczą miarę mieszającą oraz, że prawie każda trajektoria układu jest turbulentna w sensie Bass’a. W konsekwencji układ może być również chaotyczny w sensie Auslander’a i Yorke’a. Zatem przedstawione wyniki popieraja hipotezę A. Lasoty o istnieniu nietrywialnych własności ergodycznych układu. Z punktu widzenia biologiczno-medycznego wyniki sugerują, że w warunkach zaburzonej erytropoezy mogą wystąpić nieregularne zmiany ilości krążących w krwiobiegu erytrocytów.

Przeprowadzenie zaprezentowanej w rozprawie analizy numerycznej wymagało zaprojektowania metodyki obliczeniowej opartej na bardzo złożonej matematycznej teorii ergodycznej. W tym celu w rozprawie opracowano w monograficznym ujęciu fundamenty badania chaosu na gruncie teorii ergodycznej.

W rozprawie wyprowadzono zależność na pobudzenie układu produkcji erytrocytów, gdy ta produkcja zadana jest unimodalną funkcją odpowiadającą nietypowej erytropoezie. Dzięki otrzymanej zależności można lepiej zrozumieć rolę potęgi s (która według wiedzy autora nie była wcześniej interpetowana w literaturze) występującej w funkcji unimodalnej badanego równania. Reprezentuje ona stopień zaburzenia normalnej odpowiedzi erytropoetycznej. Wyliczony wzór dobrze wpasowuje się w dotychczasowe wyniki A. Lasoty i M. Ważewskiej-Czyżewskiej bowiem dla s=0 otrzymane równanie przyjmuje postać podanej przez nich zależności na pobudzenie układu dla nieliniowości odpowiadającej normalnej erytropoezie, gdy jednak s>0 zależność odpowiedzi erytropoetycznej zniekształca się, a pobudzenie jest wyhamowywane i to wyhamowywanie jest tym większe im większe jest s. A. Lasota i M. Ważewska-Czyżewska wyprowadzili monotonicznie malejącą żależność dla normalnej odpowiedzi erytropoetycznej wprowadzając zależność na pobudzenie układu. Autor zastosował rozumowanie odwrotne, to znaczy dla danej nieliniowości unimodalnej wyliczony został stopień pobudzenia układu.

Pełna wersja autoreferatu autoreferat.pdf.